НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" АПРОКСИМАЦІЯ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ І н с т р у к ц і я до лабораторної роботи № 19 з курсу "Програмування і алгоритмічні мови" Львів 2000 АПРОКСИМАЦІЯ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ЗАЛЕЖНОСТЕЙ МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ Мета роботи: вивчення і програмна реалізація алгоритмів побудови апроксимуючих залежностей методом найменших квадратів. Одержання навиків програмування і роботи в середовищах TurboС++. ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ Нехай в результаті вимірювань в процесі експериментальних досліджень одержана таблиця залежності функції
від аргументу
: Таблиця №1




 




 Треба знайти формулу, яка виражає цю залежність аналітично. Поставимо задачу так: знайти функцію заданого вигляду:
, (1) яка в точках
,
, ...,
приймає значення якнайближче до табличних значень
,
,...,
, але яка одночасно враховує характер експериментально знайденої функції. Практично вигляд наближеної функції
можна визначити наступним способом. За таблицею 1 будують точковий графік функції
, а відтак проводять плавну криву, яка відображає характер розташування експериментальних точок. За одержаною таким чином кривою встановлюють (вибирають) вигляд наближеної функції (часто з числа простих за виглядом аналітичних функцій). Процес наближення для експериментально встановленої функціональної залежності
за методом НК складається з двох етапів: спочатку вибирають вид формули і вже після цього визначають числові значення параметрів, для яких наближення буде найкращим. Вид формули наближення вибирають виходячи з теоретичних міркувань або з числа елементарних функцій за виглядом точкового графіку. Розглянемо метод знаходження параметрів наближеної функції в загальному вигляді на прикладі наближеної функції з трьома параметрами:
(1) Сума квадратів різниць відповідних значень функцій
і
має вигляд
. Ця сума є функцією трьох змінних (параметрів
). Задача зводиться до знаходження її мінімуму. Застосуємо необхідну умову екстремуму:
;
;
. З врахуванням того, що
;
;
, одержимо систему
Розв'язавши цю систему трьох рівнянь з трьома невідомими відносно параметрів
одержимо конкретний вигляд шуканої функції
. Як видно з розглянутого прикладу, зміна кількості параметрів не міняє суті даного методу, а виразиться лише у зміні кількості рівнянь у системі (5). Природно очікувати, що значення знайденої функції
у точках
,
, ... ,
відрізнятимуться від табличних значень
,
, ...,
. Значення різниць
;
, (6) називають відхиленнями виміряних значень
від обчислених за формулою (4). Для знайденої емпіричної формули (4) по відношенню до таблиці 1 можна знайти суму квадратів відхилень
яка згідно з принципом найменших квадратів для заданого виду наближеної функції має бути найменшою. З двох різних наближень однієї і тієї ж табличної функції ліпшим є те для якого сума (7) має менше значення. Отже величину
можна використовувати для вибору найліпшої з розглядуваних функцій
, які наближують задану функцію
. При цьому слід пам'ятати, що параметр
при наближенні експериментальних даних є, по-перше, розмірною величиною і, по-друге, не дозволяє оцінити якість кожного окремого наближення. Для оцінки якості наближення можна використовувати також відносне середнє квадратичне відхилення:
При виборі вигляду функції
за характером точкового графіку слід розглядати такі випадки: 1) вигляд точкового графіку вказує на те, що функція є монотонно-зростаючою (спадною) і не має точок перегину; 2) функція має екстремум; 3) функція має точки перегину, або точки перегину і екстремуми. У першому випадку достатню точність забезпечить наближення елементарними функціями (лінійною, степеневою, показниковою і т.д.). Зокрема...